Toán lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách (đặt ẩn phụ và hệ số bất định)

III. ĐẶT ẨN PHỤ:
Ví dụ 1:   x(x+4)(x+6)(x+10)+128
Hướng dẫn:

 x(x+4)(x+6)(x+10)+128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128

=(x2+10x)+(x2+10x+24)+128
Đặt  x2+10x+12=y, đa thức có dạng:
(y–12)(y+12)+128=y2–144+128

=y2–16=(y+4)(y–4)
=(x2+10x+8)(x2+10x+16)

=(x+2)(x+8)(x2+10x+8)

Ví dụ 2:  A=x4+6x3+7x2–6x+1
Hướng dẫn:

Giả sử x≠0 ta viết
x4+6x3+7x2–6x+1=x2(x2+6x+7–6x+1x2)

=x2[(x2+1x2)+6(x−1x)+7]
Đặt x−1x=y thì  x2+1x2=y2+2, do đó
A=x2(y2+2+6y+7)=x2(y+3)2=(xy+3x)2
=[x(x−1x)2+3x]2=(x2+3x–1)2
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A=x4+6x3+7x2–6x+1=x4+(6x3–2x2)+(9x2–6x+1)
=x4+2x2(3x–1)+(3x–1)2=(x2+3x–1)2

Ví dụ 3:   A=(x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2
Hướng dẫn:

A=(x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2

=[(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)](x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)2
Đặt  x2+y2+z2=a,xy+yz+zx=b ta có
A=a(a+2b)+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2

=(x2+y2+z2+xy+yz+zx)2

Ví dụ 4:  B=2(x4+y4+z4)−(x2+y2+z2)2−2(x2

                                                           +y2+z2)(x+y+z)2+(x+y+z)4
Hướng dẫn:

Đặt  x4+y2+z2=a,x2+y2+z2=b,x+y+z=c  ta có:
B=2a–b2–2bc2+c4

=2a–2b2+b2−2bc2+c4=2(a–b2)+(b–c2)2
Ta lại có: a–b2=−2(x2y2+y2z2+z2x2) và b–c2=−2(xy+yz+zx) Do đó:
B=−4(x2y2+y2z2+z2x2)+4(xy+yz+zx)2
=−4x2y2−4y2z2−4z2x2+4x2y2+4y2z2+4z2x2+8x2yz+8xy2z+8xyz2

=8xyz(x+y+z)

Ví dụ 5:  (a+b+c)3−4(a3+b3+c3)−12abc
Đặt a+b=m,a–b=n  thì 4ab=m2–n2
a3+b3=(a+b)[(a–b)2+ab]=m(n2+m2−n24).

Ta có:
C=(m+c)3–4.m3+3mn24−4c3−3c(m2−n2)

=3(−c3+mc2–mn2+cn2)
=3[c2(m−c)−n2(m−c)]=3(m−c)(c−n)(c+n)

=3(a+b−c)(c+a−b)(c−a+b)

IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1:  x4−6x3+12x2−14x+3
Hướng dẫn:

Các số  ±1, ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪+c=−6ac+b+d=12ad+bc=−14bd=3
Xét bd=3 với  b,d∈Z,b∈{±1,±3}
Với b=3 thì d=1 hệ điều kiện trên trở thành:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪+c=−6ac=−8a+3c=−14bd=3⇒{c=−8ac=8⇒{=−4a=−2
Vậy:  x4−6x3+12x2−14x+3=(x2−2x+3)(x2−4x+1)

Ví dụ 2:  2x4−3x3−7x2+6x+8
Hướng dẫn:

Đa thức có 1 nghiệm là x=2 nên có thừa số là  x–2 do đó ta có:
2x4−3x3−7x2+6x+8=(x−2)(2x3+ax2+bx+c)
=2x4+(a−4)x3+(b−2a)x2+(c−2b)x−2c
⇒ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−4=−3b−2a=−7c−2b=6−2c=8⇒⎧⎩⎨⎪⎪=1b=−5c=−4
Suy ra:  2x4−3x3−7x2+6x+8=(x−2)(2x3+x2−5x−4)
Ta lại có 2x3+x2−5x−4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x+1

Nên  2x3+x2−5x−4=(x+1)(2x2−x−4)
Vậy: 2x4−3x3−7x2+6x+8=(x−2)(x+1)(2x2−x−4)

Ví dụ 3:   12x2+5x−12y2+12y−10xy−3

Hướng dẫn:

12x2+5x−12y2+12y−10xy−3=(ax+by+3)(cx+dy−1)
=acx2+(3c−a)x+bdy2+(3d−b)y+(bc+ad)xy–3
⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c=12bc+ad=−103c−a=5bd=−123d−b=12⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪=4c=3b=−6d=2
⇒ 12x2+5x−12y2+12y−10xy−3=(4x−6y+3)(3x+2y−1)