Toán lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử

Trong chuyên đề này ta sẽ hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử.

Ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp sau:

1. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

2. Thêm, bớt cùng một hạng tử

3. Đặt ẩn phụ

4. Phương pháp hệ số bất định

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+  Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng pq trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+  Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x–1
+  Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1
+  Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1);f(−1) khác 0 thì f(1)a−1 và f(−1)a+1 đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

Ví dụ 1:  3x2–8x+4
Hướng dẫn:

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2–8x+4=3x2–6x–2x+4=3x(x–2)–2(x–2)=(x–2)(3x–2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2–8x+4=(4x2–8x+4)−x2=(2x–2)2–x2=(2x–2+x)(2x–2–x)
=(x–2)(3x–2)

Ví dụ 2:   x3–x2–4

Hướng dẫn:
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1;±2;±4, chỉ có f(2)=0 nên x=2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x–2. Do đó ta  tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x–2
Cách 1:
x3–x2–4= (x3−2x2)+(x2−2x)+(2x−4)

=x2(x−2)+x(x−2)+2(x−2)=(x−2)(x2+x+2)
Cách 2:

x3−x2−4=x3−8−x2+4

=(x3−8)−(x2−4)=(x−2)(x2+2x+4)−(x−2)(x+2)
=(x−2)[(x2+2x+4)−(x+2)]=(x−2)(x2+x+2)